Средние показатели

Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

статистический показатель средний Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций, то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут несколько отличаться):

,03 · 1850 = 420 · 700 + 440 · 200 + 410 · 950

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

Для нашего примера:

(420 - 417,03) · 700 + (440 - 417,03) · 200 + (410 - 417,03) · 950 ≈ 0

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при C = [1] <file:///G:\Учебник\bin\Text\0503.html>:

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 15 руб., то средний курс также увеличится на 15 руб.:

Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 2 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 100%:

Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитывать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между собой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической невзвешенной приведут к одному и тому же результату.

Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. Однако, в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе:

Валовой сбор и урожайность сельскохозяйственной культуры "Y" по районам области

Другие материалы

Актуальность концепции устойчивого развития для Российской экономики
Актуальность проблемы устойчивого развития экономики заключается в том, что в условии ограниченности ресурсов невозможно удовлетворить все возрастающие потребности человечества, что в дальнейшем может привести к неустойчивому состоянию не только ...

Технико-экономическое обоснование разработки газового месторождения
Система газоснабжения России - основополагающий элемент национальной экономики, от надежного и эффективного функционирования которого непосредственно зависит ее нормальная работа и жизнеобеспечение всех граждан России. Газовая отрасль занимает ...