Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдём параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона

, (1.25)

где и известны - они вычисляются по выборке.

Значения этой функции вычисляют для середин частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при . На практике для упрощения вычислений функции , где i=1,2,…,k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины (Приложение В).

Для этого вычисляем значения

для i=1,2,…,k: (1.26)

Затем по таблице находим значение

: (1.27)

И после вычисляем функцию

: (1.28)

Функция φ(х) принимает наибольшее значение при x = X :

(1.29)

Если h мало и объём выборки n велик, то можно приближенно, достаточно близко определить вероятность того, что случайная величина Х

принадлежит интервалу [xi-1;xi), по формуле:

P , (1.30)

где - теоретическая вероятность.

Используем соотношение, связывающее теоретическую вероятность c теоретической частотой :

(1.31)

Тогда теоретические частоты определяются равенствами

(1.32)

Может оказаться, что теоретические частоты являются дробными числами, но число элементов выборки, попадающих в i-й интервал, всегда является целым числом. Поэтому округлим дробные теоретические частоты до целых значений с условием, чтобы сумма всех найденных теоретических частот была близка к n:

Если сумма теоретических вероятностей существенно ниже единицы, то надо построить дополнительные интервалы слева и справа от основного интервала [x0; xk). Для средних значений частичных интервалов, построенных слева и справа от интервала [x0; xk), вычислим значения теоретической плотности нормального распределения и теоретические частоты. Сумма для всех теоретических вероятностей должна быть близка к единице с точностью до нескольких знаков после запятой:

Другие материалы

Сущность воспроизводства общественного капитала
В экономической науке видное место занимает теория капитала. Зачастую, на практике капитал предприятия рассматривается как нечто производное, как показатель, играющий второстепенную роль, при этом на первое место, как правило, выносится непосре ...

Экономический рост и проблема его осуществления в странах с переходной экономикой
Важность изучения экономического роста заключается в том, что от его темпов зависит повышение благосостояния нации. Проблемы экономического роста привлекали внимание ученых на протяжении последних трех столетий. В Республике Беларусь в последн ...